حل مسأله را می توان به زبان ساده تعریف كرد. هر گاه فردی بخواهد كاری انجام دهد ولی نتواند به هدف خود برسد، برایش مسأله ایجاد می شود به عبارت دیگر هر موقعیت مبهم یك مسأله است. حل مسأله نوعی از یادگیری بسیار پیچیده است. مسأله و تلاش برای حل آن جزئی از زندگی هر فرد است. فرآیند برخورد با شرایط زندگی همان مسأله است.

دو دیدگاه متفاوت در آموزش ریاضیات نسبت به حل مسأله وجود دارد:

• ریاضی یاد بدهیم تا دانش آموزان بتوانند مسأله حل كنند.
• ریاضی را با حل مسأله آموزش دهیم.

در دیدگاه اول آموزش ریاضی مطابق با محتوای موضوعی است و مفاهیم متفاوتی تدریس می شوند. انتظار داریم دانش آموزان با استفاده از دانش ریاضی خود مسائل متفاوت را حل كنند. اما در دیدگاه دوم آموزش ریاضیات از طریق حل مسأله اتفاق می افتد. یعنی دانش آموز مسأله حل می كند و در ضمن آن محتوا و مفاهیم جدید ریاضی را می سازد، كشف می‌كند و یا یاد می گیرد. در حال حاضر، دیدگاه دوم در آموزش ریاضیات بیشتر مطرح است. در این نگاه حل مسأله نقطه تمركز یا قلب تپنده آموزش ریاضیات است.

مهارت حل مسأله

اگر از معلمان ریاضی سؤال شود كه مشكل اصلی دانش آموزان در درس ریاضی چیست؟

به یقین خواهند گفت: آنها در حل مسأله ناتوان هستند. در مطالعه تیمز نیز همین موضوع را شاهد بودیم. چون در اغلب مسأله‌های آزمون كتبی این مطالعه عملكرد دانش‌آموزان پایین است. در واقع می توانیم بگوییم دانش‌آموزان توانایی یا مهارت حل مسأله را ندارند.

یكی از دلایل این ناتوانی، فقدان طراحی برای آموزش مهارت حل مسأله به دانش آموزان بوده است یا به عبارتی معلمان به آنها یاد نداده‌اند كه چگونه مسأله را حل كنند. هر گاه دانش‌آموزان با مسأله‌ای روبه‌رو شده و از حل آن عاجز مانده‌اند معلمان تنها به بیان راه حل یا پاسخ مسأله اكتفا كرده‌اند و نگاه‌های پرسش گر، كنجكاو و متحیر دانش‌آموزان با این سؤال باقی مانده است:

• معلم ما چگونه توانست مسأله را حل كند؟
• راه حل مسأله چگونه به فكر او رسید؟
• چرا ما نتوانستیم راه حل مسأله را كشف كنیم؟

در خیلی از مواقع معلمانی كه سعی كرده اند به طریقی حل مسأله را به دانش آموزان خود یاد دهند، راه را اشتباه رفته‌اند و آموزش‌های نادرست داده‌اند.

برای مثال به دانش آموزان گفته اند: عددهای مسأله بسیار مهم اند. زیر آن ها خط بكشید. فراموش نكنید كه باید از آن ها استفاده كنید. همین آموزش نادرست باعث شده است. دانش آموزان اطلاعات مسأله را به خوبی تشخیص ندهند.

وقتی مسأله زیر برای دانش آموزان كلاس سوم مطرح شد، آن عدد 747 را در عملیات مسأله دخالت دادند و با آن عدد عبارت های جمع و تفریق و … را نوشتند: «یك هواپیمای بوئینگ 747 با 237 مسافر در فرودگاه نشست و 130 مسافر را پیاده كرد. حالا این هواپیما چند مسافر دارد؟» یا برای دانش‌آموزان گفته‌اند كه درمسأله بعضی از كلمه‌ها بسیار مهم است.

برای مثال اگر كلمه روی هم را دیدید مسئله مربوط به جمع است و اگر كلمه اختلاف را دیدید حتماً باید تفریق كنید.

به همین دلیل در مسأله زیر كه در مطالعه تیمز (2003) آمده بود، عده‌ای از دانش آموزان كلاس چهارم شركت كننده در این مطالعه به اشتباه افتادند و مسأله را به جای ضرب، جمع كردند.

«در یك سالن سینما 15 ردیف صندلی وجود دارد. در هر ردیف 19 صندلی قرار دارد. این سالن روی هم چند صندلی دارد؟»

بهتر است این روش‌های آموزش نادرست را به كار نبریم و به دنبال طرحی برای آموزش حل مسأله به دانش‌آموزان باشیم.

• آیا آموزش حل مسأله آموزش دادنی است؟

یكی از دلایل فقدان طرحی برای آموزش حل مسأله به دانش‌آموزان، این است كه آموزشگران ریاضی تا چندین سال پیش معتقد بودند كه حل مسأله آموزش دادنی نیست بلكه یك هنر یا ویژگی و توانایی است كه بعضی از انسا‌ن‌ها دارند و بعضی ندارند. بنابراین هیچ كس تلاش برای حل مسأله به دانش‌آموزان نمی‌كرد. اما تعداد كسانی كه درمورد آموزش حل مسأله تحقیق می‌كنند بیشتر است. یكی از افرادی كه در مورد چگونگی حل مسأله و آموزش آن تحقیق كرد، جرج پولیا است. حاصل كار او در كتاب «چگونه مسأله حل كنیم» منتشر شد. مرحوم احمد آرام این كتاب را ترجمه كرده است. او در مقدمه كتاب خود می گوید: « من یك ریاضیدان هستم. متخصص آموزش ریاضی نیستم، اما علاقه‌مندم بدانم چرا من می‌توانم مسأله ریاضی را حل كنم و دیگران نمی‌توانند؟ چرا بعضی از دانشجویان مسأله ریاضی را حل می‌كنند ولی بعضی نمی توانند؟ او همین سؤال ها را دنبال كرد و مدلی برای تفكر حل مسأله و آموزش راهبردها ارائه كرد.

پولیا دو حرف اساسی دارد.

• مدل چهار مرحله ای برای تفكر حل مسأله
• آموزش راهبردها كه البته نكته دوم در آموزش اهمیت بیشتری دارد.

مدل چهار مرحله‌ای پولیا فرآیند تفكر حل مسأله برای افراد مختلف متفاوت است. پولیا تلاش كرده تفكر حل مسأله را به نوعی مدل سازی كند. او الگویی چهار مرحله‌ای را مطرح كرده است.

در فرآیند حل مسأله این چهار گام طی می‌شوند تا یك مسأله ریاضی به طور كامل حل شود. مدل چهار مرحله‌ای او به این شكل است:

• فهمیدن مسأله گام اول حل مسأله فهمیدن آن است.

این گام نشان می‌دهد، مسأله وقتی مسأله است كه نكته‌ای برای فهمیدن داشته باشد. فهمیدن مسئله یعنی تشخیص داده‌ها و خواسته‌های آن و درك ارتباط بین آنها. فهم یك مسأله در واقع بخش اصلی فرآیند حل مسأله است. مسأله‌های پیچیده حل نمی شوند. چون اغلب در فهم آنها مشكل داریم. اغلب دانش آموزان در فهمیدن مسأله اشكال دارند. یكی از دلایل آن اشكال در درك مطلب عبارات صورت مسأله است. معلمان می‌توانند برای طی كردن این گام، سؤال‌های گوناگونی مطرح كنند

به نمونه‌های زیر توجه كنید:

• داده‌های مسأله چیست؟
• خواسته‌های آن كدامند؟
• مسأله را به صورت خلاصه بیان كنید.
• مسأله را به زبان و بیان خود توضیح دهید و دوباره تكرار كنید.
• مسأله را به صورت نمایشی اجرا كنید.
• مسأله را با شكل‌ها و یا اشیاء مدل سازی كنید.
• آیا معنی واژه‌ها، لغات و اصطلاحات به كار رفته در مسأله را می‌دانید؟

سؤال‌ها و توصیه‌هایی از این دست كمك می كنند، دانش‌آموز در مورد مسأله بهتر فكر كند و معلمان نیز مطمئن شوند كه آنها مسأله را درك كرده‌اند.

• طرح ریزی كردن در این طرح مسأله از ابعاد متفاوت ریاضی بررسی می‌شود. یعنی تعیین این كه مسأله به كدام یك از شاخه‌های هندسه، كسر، جبر، و … مربوط است.
• چگونه می‌توان آن را مدل سازی كرد؟
• كدام روش یا راهبرد برای حل آن مناسب‌تر است؟

در این مرحله ممكن است مجبور شویم به گام فهمیدن برگردیم و این افت و برگشت تا پیدا كردن یك راه حل مناسب ادامه می‌یابد.

در آموزش ابتدایی آن چه بیشتر از همه برای دانش‌آموزان معنی دارد، تشخیص روش یا راهبرد مناسب برای حل مسأله است. به همین دلیل این گام را به انتخاب راهبرد می‌شناسیم.

راهبرد یعنی یك روش یا راه حل عام كه در بسیاری از مسائل كاربرد دارد.

آموزش راهبردهای حل مسأله، در واقع مهم‌ترین بخش حل مسأله است كه برای آموزش هنر حل مسأله راهی به دانش آموزان نشان می‌دهد و آشكار می‌سازد.

• حل مسأله در گام سوم، وقتی راهبرد مناسب برای حل مسأله مشخص شد، به حل آن اقدام می كنیم،

هنگام حل مسأله ممكن است به این نتیجه برسیم كه راهبرد انتخاب شده مناسب نیست و به حل مسأله منجر نمی شود. بنابراین باید به گام دوم برگردیم و راهبرد تغییر دهیم. یا حتی مجبور شویم برای فهمیدن بخش‌هایی از مسأله به گام اول برگردیم. حل مسأله صرفاً نوشتن عملیات و عبارت‌های ریاضی نیست، گاهی با انتخاب راهبرد، رسم شكل و كشیدن یك شكل مناسب مسأله به طور كامل حل می‌شود و دیگر نیازی به نوشتن عملیات نیست. یا حدس زدن پاسخ مسأله و آزمایش آن، خواسته مسأله را مشخص می‌كند. در حالی كه عملیات و راه حل مستقیمی برای رسیدن به جواب ننوشته ایم.

• نگاه به عقب گام چهارم را اغلب دانش‌آموزان و معلمان طی نمی‌كنند.

به عبارت دیگر پیدا كردن پاسخ و حل ریاضی مسأله را پایان كار می‌دانند در حالی كه در فرآیند حل مسأله گام نگاه به عقب اهمیت زیادی دارد. این مرحله جلوه‌ها و معنی‌های متفاوتی دارد. تفسیر و ترجمه جواب ریاضی مسأله در دنیای واقعی، بررسی منطقی بودن پاسخ و این كه جواب به دست آمده همان خواسته مسأله است یا نه بررسی صحت عملیات انجام شده بررسی مجدد مراحل مسأله، تطبیق شرایط مورد نظر مسأله با پاسخ به دست آمده، بررسی مسأله با یك راهبرد یا راه حل دیگر و در نظر گرفتن سایر حالت‌ها و شرایط برای مسأله، نمونه‌هایی از كارهایی هستند كه می‌توان در گام آخر انجام داد.  

راهبردهای حل مسأله

چند نكته:

• زمانی كه آموزش یك راهبرد مورد نظر است، از دانش‌آموزان می‌خواهیم، مسأله‌های داده شده را فقط با همان راهبرد مورد نظر حل كنند تا با آن به طور كامل آشنا شوند. اما با گذشتن از آموزش راهبردها درهنگام حل مسأله آنها می‌توانند از هر راهبردی كه مایل هستند مسأله را حل كنند. به این ترتیب، یك مسأله می‌تواند با راهبردهای متفاوت در كلاس حل شود. در صورتی كه این اتفاق دركلاس بیفتد باعث خوشحالی و سربلندی معلم خواهد شد.
• آموزش راهبرد یعنی فراهم كردن شرایط و موقعیتی كه دانش‌آموز درك كند، راهبرد مورد نظر برای حل مسأله كارآیی دارد.
• تعداد راهبرد زیاد است اما آموزش تعداد زیادی راهبرد به دانش‌آموزان طبق تحقیقات انجام شده مناسب نیست. زیرا مانع تفكر و خلاقیت دانش‌آموز خواهد شد.

در این جا چند راهبرد بررسی می‌شوند:

الف: راهبرد رسم شكل:

طبیعی‌ترین راهبردی كه به ذهن دانش آموز می رسد رسم شكل است. بسیاری از مسائل با كشیدن شكل مناسب یا مسأله به طور كامل حل یا راه حل آنها آشكار می‌شود. اغلب معلمان این راهبرد (راه حل) را در حل مسأله‌ها از دانش‌آموزان نمی‌پذیرند به همین دلیل این راهبرد طبیعی كم‌كم كنار گذاشته می‌شود.

مثال زیرنشان می‌دهد، چگونه می‌توان از این راهبرد در حل مسأله‌ای استفاده كرد.

«در یك مزرعه 20 مرغ وگاو وجود دارد . تعداد پاهای آنها 56 عدد است. چند مرغ و چند گاو در این مزرعه وجود دارند؟»

این مسأله با استفاده از راهبردهای رسم شكل، با اطلاعات دانش‌آموزان كلاس دوم دبستان قابل حل است.

– ابتدا 20 دایره به جای سرها می‌كشیم. برای هر كدام 2 خط (2پا) درنظر می‌گیریم تا این جا می‌شود 40 پا، 16 پای باقیمانده را با اضافه كردن 2 تا 2 تا رسم می‌كنیم.

ب) راهبردهای زیر مسأله:

مسأله‌های پیچیده و چند هدفی معمولاً از چند مسأله ساده تشكیل شده‌اند. گاهی حل یك مسأله و یا زنجیره‌ای از زیر مسأله‌ها به حل مسأله اصلی منجر می‌شوند. تشخیص زیر مسأله‌ها و حل آنها، راهبرد مهمی برای حل مسأله‌های تركیبی است.

مسأله زیر با استفاده از این راهبرد حل شده است:

«رضا 37 عدد گردو جمع كرده است. تعداد گردو‌های علی 17 تا بیشتر از اوست . این دو نفر روی هم چند گردو جمع كرده اند؟»

این مسأله در واقع از دو مسأله كوچك تشكیل شده است كه با حل آنها می‌توان پاسخ را پیدا كرد.

• تعداد گردوهای علی چند تا است؟
• تعدادگردوهای رضا و علی روی هم چند تاست؟

پس:

• تعداد گردوهای علی 54=14+37
• تعداد گردوهای رضا و علی 91=37+54

در این راهبرد، دانش‌آموزان باید یاد بگیرند، چگونه زیر مسأله‌ها را تشخیص دهند. آ‌نها را جداگانه بنویسند و سپس به حل تك‌تك آنها اقدام كنند.

ج) راهبرد حل مسأله ساده‌تر:

گاهی مسأله پیچیدگی‌هایی دارد كه نمی‌توان آن را به راحتی حل كرد. اما وقتی آن را ساده می‌كنیم، یا حل و یا روش حل آن ظاهر می‌شود. وقتی مسأله درحالت ساده‌تر بررسی شد یا یك الگو‌یابی می‌توان آن را به حالت كلی تعمیم داد. ساده كردن عددها و داده‌ها نیز بخشی از این راهبرد است.

در مسأله زیر با ساده كردن عددها می‌توان به راه حل نزدیك شد.

«در یك كارخانه، لوله‌هایی به طول متر تولید می‌شود. در یك روز 244 عدد لوله تولید شده است. در این روز چند متر لوله تولید شده است؟»

شكل ساده شده مسأله چنین است:

یك كارخانه لوله‌هایی به طول 2 متر تولید می‌كند. اگر 200 عدد لوله تولید شود، چند متر لوله تولید شده است؟ یعنی با تغییر دادن عددها و ساده كردن آن‌ها، می‌توان به راه حل مسأله كه ضرب است نزدیك شد.

د) راهبرد حذف حالت نامطلوب:

وقتی از تمام حالت‌های ممكن پاسخ یك مسئله و با استفاده از داده‌ها، فرض‌ها و اطلاعات مسأله حالت‌های نامطلوب یكی‌یكی یا دسته دسته حذف می‌شوند، خود را به پاسخ نزدیك می‌كنیم. حذف حالت‌های نامطلوب، یعنی كنار گذاشتن حالت‌هایی كه با شرایط و فرضیات مسأله تطبیق نداند تا رسیدن به پاسخ و حالت مطلوب كه مورد نظر مسأله است.

به مثال زیر توجه كنید.

یك بازی دو نفره به این صورت انجام می‌شود كه یك نفر عددی بین 1 تا 100 در ذهن خود مجسم می‌كند. نفر بعد با سؤال كردن از او، به طوری كه فقط پاسخ بلی یا خیر بشنود، باید به عددی دست یابد كه در ذهن نفر اول است.

سؤال آیا این عدد دو رقمی است مناسب نیست چون اگر پاسخ مثبت باشد، فقط 9 عدد (حالت نامطلوب) حذف می‌شود و 90 عدد دیگر باقی می‌ماند. سؤال آیا این عدد زوج است، مناسب است، چو در هر صورت یعنی از حالت‌ها حذف می‌شوند.

بهترین سؤال برای شروع این است:

آیا این عدد بین 1 تا 50 قرار دارد؟ به این ترتیب نیمی از حالت‌ها حذف می‌شوند. اگر پاسخ مثبت بود، سوال بعدی این است كه آیا عدد بین 1 تا 25 است؟ به همین ترتیب، با نصف كردن، عددهای نامطلوب كم كم حذف می شوند تا به عدد مورد نظر دست یابیم.